Les avantages et les inconvénients des engrenages planétaires

Des voitures hybrides à la robotique spatiale, l'un des mécanismes les plus polyvalents de l'ingénierie se cache à la vue de tous : l'engrenage planétaire. En permettant aux engrenages d'orbiter comme des systèmes solaires miniatures, cette conception compacte offre un couple important, un mouvement fluide et de multiples options de vitesse dans des endroits où les trains d'engrenages traditionnels n'ont tout simplement pas leur place. Dans ce billet, nous verrons comment ils fonctionnent, comment les concevoir et pourquoi ils ont alimenté des technologies allant de l'horlogerie du XIXe siècle aux éoliennes modernes.

Les engrenages planétaires, également connus sous le nom de trains d'engrenages épicycloïdaux, constituent un type unique de système d'engrenage largement utilisé pour sa compacité et sa polyvalence. Dans un train d'engrenages planétaires, plusieurs engrenages - appelés planètes - tournent autour d'un engrenage central appelé soleil. Ces satellites sont maintenus en place par un support et s'engrènent à la fois avec l'engrenage solaire et une couronne extérieure (parfois appelée anneau). Cette disposition ingénieuse permet aux systèmes d'engrenages planétaires de fournir un couple élevé dans un espace réduit et de multiplier les rapports de vitesse ou les sens de rotation.

Des exemples spécifiques montrent à quel point les engrenages planétaires sont essentiels :

- Dans la Toyota Prius hybride, les engrenages planétaires constituent le cœur du dispositif de répartition de l'énergie du système hybride synergétique (Hybrid Synergy Drive). Ce dispositif mélange de manière transparente la puissance du moteur à essence et celle du moteur électrique, ce qui permet à la voiture de passer efficacement d'un mode de conduite à l'autre.

- Les transmissions automatiques de nombreuses voitures utilisent des engrenages planétaires pour passer d'une vitesse à l'autre de manière souple et compacte.

- Dans les éoliennes, les boîtes de vitesses planétaires augmentent la vitesse de rotation du rotor à faible vitesse vers le générateur à grande vitesse.

- Les actionneurs aérospatiaux et les bras robotiques utilisent des engrenages planétaires pour un contrôle précis dans un espace limité.

- Les appareils grand public tels que les montres-bracelets utilisent des trains d'engrenages planétaires miniatures pour synchroniser des mouvements complexes.

Les engrenages planétaires sont très prisés dans l'ingénierie car ils peuvent supporter des charges plus élevées, offrir plusieurs vitesses et sorties de couple, et utiliser efficacement l'espace disponible, tout en offrant un fonctionnement fluide et fiable.

Les engrenages planétaires peuvent être conçus et fabriqués à l'aide des techniques standard de fabrication d'engrenages. Comme pour tous les autres engrenages, le pas (espacement des dents, généralement exprimé en pas diamétral en unités impériales ou en module en unités métriques) doit être le même pour toutes les dents de chaque engrenage afin qu'elles s'engrènent correctement. Pour plus d'informations sur l'utilisation du pas, veuillez consulter notre article de blog ici :

Comment savoir combien de dents utiliser ? L'approche est simple :

Décidez du nombre de dents que vous souhaitez pour vos engrenages solaires et planétaires, et la denture de la couronne sera résolue comme suit :

Où :

R= Le nombre de dents de la couronne
P= Le nombre de dents de chaque roue planétaire
S= Le nombre de dents de l'engrenage solaire

De même, si l'on doit résoudre la question des dents de l'engrenage solaire avec les dents de la couronne et de la roue planétaire déterminées, on peut utiliser la formule suivante :

Pour résoudre le problème de la denture planétaire, avec une bague et une denture solaire connues, l'équation suivante peut être utilisée :

Dans un train d'engrenages planétaires, le rapport de transmission dépend du composant (soleil, couronne ou porteuse) qui est fixe, de l'entrée et de la sortie. Vous trouverez ci-dessous un tableau de formules pour chacune de ces situations :

La formule qui décrit la relation entre les engrenages planétaires, aujourd'hui appelée équation de Willis, remonte à Robert Willis, ingénieur britannique du XIXe siècle et professeur à Cambridge. En 1841, Willis a publié Principles of Mechanism, un texte de référence sur la géométrie et le mouvement des composants de machines. L'une de ses principales contributions était une formule cinématique générale pour les trains d'engrenages épicycloïdaux (planétaires), permettant de calculer les vitesses relatives de deux éléments quelconques lorsque le troisième est maintenu ou se déplace à n'importe quelle vitesse.

Cette équation a unifié les méthodes ad hoc antérieures d'analyse des trains d'engrenages complexes, permettant de traiter les supports fixes, rotatifs et mobiles dans une seule et même expression. Bien que les dérivations modernes utilisent souvent une notation vectorielle ou de vitesse relative, la relation sous-jacente est essentiellement inchangée par rapport au travail original de Willis il y a près de deux siècles.

L'équation de Willis a plusieurs formes, la forme la plus classique et la plus connue étant la suivante :

Où :

ωs,ωr,ωc sont les vitesses angulaires du soleil, de l'anneau et du support

S et R sont les nombres de dents du soleil et de l'anneau

Le signe moins indique une rotation opposée entre le soleil et l'anneau

Il s'agit d'une relation cinématique générale qui s'applique à n'importe quel train d'engrenages planétaires. L'équation peut également être écrite pour discuter du nombre de dents. Réorganisons l'équation de Willis pour l'écrire en termes de nombre de dents :

Multiplication croisée :

En expansion :

Collecte des termes du transporteur d'un côté :

Substituez ωi=2πTi et annulez 2π :

Réorganiser :

Où

R=Nombre de dents de la couronne

S=Nombre de dents de l'engrenage solaire

Tc=Nombre de tours (ou vitesse) du porte-satellites

Tr=Nombre de tours (ou vitesse) de la couronne

Ts=Nombre de tours (ou vitesse) de l'engrenage solaire

L'équation de Willis peut être utilisée pour dériver les formules des rapports d'engrenage dans un système planétaire.

Lorsque nous maintenons un engrenage constant, il devient nul. Par exemple, si nous maintenons le porte-satellites immobile, l'équation ci-dessus aura des valeurs nulles pour les engrenages planétaires :

Devient :

Simplifier :

Nous allons arranger cette formule en plaçant les variables du planétaire (S et TS) d'un côté et de la couronne de l'autre (R et Tr).

Nous pouvons trouver le rapport de vitesse en divisant les deux côtés par -S*Ts

Simplifier :

Pour simplifier les choses, nous pouvons déplacer les nombres de dents de l'autre côté de l'équation pour exprimer la vitesse en nombre de dents.

Si l'on souhaite connaître le rapport de démultiplication de notre système planétaire avec un porte-satellites fixe, il suffit de diviser le nombre de dents du planétaire par le nombre de dents de la couronne. Le signe négatif indique le sens de rotation opposé ; la grandeur donne le rapport de vitesse. Pour des raisons de simplicité, la formule ci-dessus n'est pas représentée avec le signe négatif.

Peut-être voudrions-nous maintenir la couronne constante et examiner le rapport de transmission entre le planétaire et le porte-satellites. Pour ce faire, nous utiliserons notre formule initiale :

Nous mettrons à zéro la vitesse de la couronne :

Pour trouver le rapport de transmission, nous allons déplacer tous les termes de R et S d'un côté de l'équation :

Ainsi, si l'on souhaite trouver le rapport entre le planétaire et le soleil, il suffit de diviser le nombre de dents de la couronne par celui du soleil et d'ajouter 1.

Dans le dernier cas, le planétaire sera immobile et nous calculerons le rapport entre le porte-pignon planétaire et la couronne :

La vitesse du planétaire devient nulle :

Le pas diamétral joue un rôle crucial dans les charges que le système peut supporter. Les engrenages planétaires, tels que ceux utilisés dans les treuils, les palans et les entraînements lourds, doivent souvent être dimensionnés en fonction de la capacité de charge. Vous trouverez ci-dessous une formule de base qui peut vous aider à déterminer le pas diamétral minimum en fonction des charges de votre système. Notez que la formule est une approximation et ne tient pas compte des chocs, des défauts de fabrication des engrenages ou des engrenages mal alignés. Les utilisateurs doivent augmenter ou diminuer leur pas diamétral en fonction de leurs besoins.

Où :

Entrées :

- S = contrainte de flexion admissible (psi) - souvent ~1/3 de la résistance ultime à la traction du matériau par sécurité

- F = largeur de face (pouces)

- Y = facteur de forme de Lewis (sans unité, varie avec l'angle de pression et le nombre de dents)

- N = nombre de dents sur l'engrenage

- T = couple (in-lbf)

Sortie :

- DPmin = le plus petit pas diamétral sûr pour supporter la charge sans dépasser la contrainte de flexion

Le facteur de forme de Lewis est destiné à être utilisé pour les engrenages droits, et il s'agit donc d'une approximation lorsqu'il est appliqué aux engrenages planétaires. A titre de référence rapide, les facteurs de forme de Lewis approximatifs pour des angles de pression de dent de 20° sont les suivants :

Une propriété essentielle de votre jeu d'engrenages est de savoir si les engrenages planétaires sont en phase et régulièrement espacés. Considérons l'image suivante :

Vous pouvez remarquer que les lignes de référence noires sont toutes espacées de 120 degrés et de façon régulière, mais que les planétaires ne sont pas tout à fait espacés et que les dents de chaque engrenage ne sont pas engagées de la même façon les unes dans les autres. Si les engrenages ont le même angle entre leurs centres, ils sont régulièrement espacés, et si les dents ont le même engagement partout, ils sont en phase. L'exemple ci-dessus n'est ni en phase ni régulièrement espacé.

Dans l'image suivante, vous pouvez également voir que l'espacement planétaire est régulier, les engrenages planétaires sont tous à 120° l'un de l'autre. Si vous regardez de près, les dents ne sont pas en phase les unes par rapport aux autres. Il s'agit d'un exemple de train d'engrenages déphasé et régulièrement espacé.

Enfin, sur la dernière image, remarquez que tous les engrenages planétaires sont espacés de 120 degrés comme auparavant, mais que les dents sont maintenant toutes engagées de la même manière avec les engrenages environnants. Il s'agit d'un exemple de train planétaire en phase et régulièrement espacé.

L'espacement régulier ou irrégulier des planètes et la mise en phase ou le déphasage des dents de leurs engrenages sontpresque entièrement contrôlés par le choix du nombre de dents sur les roues solaires et les couronnes. En choisissant bien ces nombres, vous pouvez contrôler l'aspect, la sensation et le fonctionnement de votre ensemble planétaire.

Voici les trois principaux cas que vous rencontrerez lors de la conception d'engrenages planétaires :

C'est l'aspect "classique" : des planètes placées à des angles égaux autour du support, toutes avec leurs dents d'engrenage alignées dans la même orientation par rapport au soleil.

Comment le concevoir :

1. Additionnez les dents du pignon solaire aux dents de la couronne. Ce total doit être exactement divisible par le nombre de planètes souhaitées. Cela garantit un espacement angulaire égal sans interférence entre les dents.

2. Le nombre de dents de la couronne doit également être divisible par le nombre de planètes. Cette deuxième règle permet de bloquer les planètes dans la même phase de denture.

Résultat : Symétrie, équilibre et alignement satisfaisant. Idéal pour les mécanismes visuellement attrayants ou lorsque vous souhaitez que les planètes s'engagent sur le soleil exactement de la même manière.

A première vue, cela ressemble à la disposition en phase : les planètes sont également espacées autour de la porteuse. Mais en regardant de plus près les dents, vous verrez que chaque planète est décalée par rapport aux autres.

Comment le concevoir :

1. Une fois encore, le total des dents du soleil et de la couronne doit être divisible par le nombre de planètes pour permettre un espacement régulier.

2. Le nombre de dents de la couronne ne doit pas être divisible par le nombre de planètes.

Résultat : L'espacement est égal, mais les planètes sont déphasées. Cela peut être utile pour réduire le risque que toutes les planètes s'engagent sur les dents du pignon solaire au même endroit, ce qui peut contribuer à étaler les schémas d'usure ou à modifier les caractéristiques de bruit et de vibration. Le schéma de mise en phase exact dépend du reste lorsque le nombre de dents de l'anneau est divisé par le nombre de planètes.

Parfois, les exigences en matière de rapport ou les contraintes d'emballage font que l'espacement régulier n'est tout simplement pas possible. Dans ce cas, vous pouvez toujours construire un jeu d'engrenages planétaires fonctionnel, mais les planètes devront être placées à des angles irréguliers autour du support.

Comment le concevoir :

- Choisissez des nombres de dents d'engrenage solaire et de couronne où le total (soleil + couronne) n'est pas divisible par le nombre de planètes.

- Les planètes sont placées en utilisant des "ticks" d'espacement basés sur ce nombre total de dents, ce qui signifie que les angles entre les planètes seront différents.

- Dans certains cas particuliers, vous pouvez utiliser une disposition en "X" - des paires de planètes directement opposées l'une à l'autre - si le nombre total de dents divisé par le nombre de planètes laisse un reste d'une demi-dent.

Résultat : Cette disposition est mécaniquement fonctionnelle mais ne présente pas la symétrie visuelle d'ensembles régulièrement espacés. Les phases seront toujours mélangées lorsque les engrenages tournent - certaines planètes seront plus proches de la phase, d'autres plus éloignées - et la répartition de la charge peut être moins uniforme.

Voici un tableau récapitulatif des avantages et des inconvénients de chaque configuration :

Les engrenages planétaires sont bien plus qu'une astuce mécanique : c'est une solution de conception qui a résisté à l'épreuve du temps, de la théorie du XIXe siècle à la technologie du XXIe siècle. Des petites dents de lait aux grands engrenages à haute résistance, leur géométrie unique fournit un couple élevé dans un espace compact, permet des rapports de vitesse multiples et offre des configurations flexibles pour répondre à un large éventail de besoins d'ingénierie. Que vous optimisiez une transmission hybride, construisiez une articulation robotique de précision ou conceviez une boîte de vitesses pour des charges extrêmes à des vitesses d'entrée élevées, la compréhension du nombre de dents, du phasage et des règles d'espacement vous donne le pouvoir de contrôler non seulement le fonctionnement de votre jeu d'engrenages, mais aussi sa fluidité, son silence et son efficacité, que vous utilisiez 32 dents ou 320 dents. Si vous maîtrisez les principes de base, les engrenages planétaires deviendront moins un mystère et plus un outil que vous pourrez plier à votre volonté.