インボリュートスパーギアの数学

15分

2024年1月20日

小さな歴史

歯車は、動力伝達が重要なすべてのシステムの基本である。その起源はギリシャと中国の古代文明に遡り、当初は木で作られていた。

古代ギリシャのアンティキティラ島の機構は、複雑な歯車システムを特徴としており、歯車技術の初期の習得を物語っている。これらの驚異は、回転力を伝達し、機械の動きを正確に制御する独創的な方法を示している。遊星歯車、リング歯車、歯車セットなどに似た高度な機械的概念を含んでいる。

ギリシャのアンティキティラ島のメカニズム：

ソース

画像出典：ブリタニカ百科事典（2023年10月13日）。アンティキティラ島のメカニズム.Encyclopædia Britannica. https://www.britannica.com/topic/Antikythera-mechanism

ソース

画像出典：Tony Freeth/UCL

基本的に、ギアは動力源の速度、トルク、方向を変えるために設計されている。最も単純な形では、回転するレバーと言える。歯車は円筒形または円錐形の物体で、歯が他の歯車の歯と噛み合います。この相互作用によって、一方の歯車（駆動歯車）がもう一方の歯車（従動歯車）を回転させ、動力を効率的かつ正確に伝達することができる。

歯車の素晴らしさは、その多用途性にある。時計の微細な歯車から産業機械の巨大な歯車まで、歯車は数え切れないほどの用途に不可欠です。歯車のおかげで、時計は一斉に時を刻み、自動車はスムーズに加速し、風力タービンは効率的にエネルギーを利用することができる。その用途は、自動車、航空宇宙、ロボット、製造業など様々な分野に及んでいる。
この記事では、平歯車の定義に焦点を当てる。他にも、90°でトルクを伝達するのに適したベベルギア、歯がはすば状に動くヘリカルギア、歯が両方向に動くヘリングボーンギアなどがあります。

平歯車を定義し、以下の情報を使って数学的に定義することができます。

重要な用語

ピッチサークル

歯車を円としてシミュレートする場合、ピッチ円は歯車の純粋な転がり運動を表す直径となる。歯は噛み合っているため、歯車は歯の外径や歯の付け根の直径から正確にモデル化されることはなく、図のように両者の間でモデル化されます。言い換えれば、歯が噛み合う点を通る仮想の円であり、歯車の真の大きさを定義します。これはピッチ直径またはピッチ円直径とも呼ばれる。

補遺と修正条項

アデンダムとは、ピッチ円から歯の上面までの半径方向の距離のこと。これはピッチ円に対して特に重要である。

デデンダムは、歯底からピッチ円までの半径方向の距離で、これもピッチ円に対して重要であり、定義されている。

補遺 Circle / Major Diameter

ピッチ円と加算円を足した直径の円。これはギアの外径と等しくなければならない。興味深いことに、これは一般的に主要直径とは呼ばれない。

ディデンダムサークル／ルートサークル

ルート・サークルとは、ピッチ・サークルからデデンダムを差し引いた直径を持つ円のこと。これは控除円、小径、ルート径とも呼ばれる。

円形ピッチ

ある歯の表面から次の歯の同じ表面までの距離。歯面のピッチ円における円弧の長さとして測定される。

直径ピッチ

これは、ピッチ円に対する歯数の比率として定義できる。直径あたりのピッチで測定され、ほとんどの場合インチが使用されます。メートル法の場合は、直径ピッチの代わりにモジュールが使用されます。これは円ピッチとも呼ばれる。

直径ピッチ = 歯数 / ピッチ直径。この場合、15 / 1.5 = 10。

インボリュート・プロフィール

これは、ルーレット・ファミリーと呼ばれる曲線のファミリーの一部として定義することができる。曲率は、別の形状の周りを「転がる」点で表される。具体的なインボリュート曲線については、円柱にひもを巻きつけ、その先にペンを置くことを想像してほしい。そして、ペンが軌跡を描きながら、紐を円柱からほどいていく。描かれている経路はインボリュート曲線である。

ベースサークル

インボリュート形状の開始点を示す円の直径。

モジュール

メートル法を使用する親愛なる友人のために、モジュールはしばしば直径ピッチの代わりとなる。モジュラスは歯1本あたりのミリメートル単位で測定されます。それぞれの属性を比較するには、以下をご覧ください。

    モジュールと直径ピッチ - 主な違い   
  
    直径ピッチ   
     モジュール   
  
    単位：
    インチ
    mm
  
    サイズの意味合い：   
    値が大きいほど歯が小さく、「1インチあたりの歯数」が多いことを示す。   
    値が大きいほど歯が大きい、または「mm/インチ」が大きいことを示す。   
  
    地理的な使用：   
    主に米国および帝国制が採用されている国で使用されている。   
    メートル法を使用する国で使用

モジュールと直径ピッチ - 主な違い
	直径ピッチ	モジュール
単位：	インチ	mm
サイズの意味合い：	値が大きいほど歯が小さく、「1インチあたりの歯数」が多いことを示す。	値が大きいほど歯が大きい、または「mm/インチ」が大きいことを示す。
地理的な使用：	主に米国および帝国制が採用されている国で使用されている。	メートル法を使用する国で使用

数学的関係

歯車を設計するために必要な値は3つだけで、歯車の厚みも定義したい場合は4つ必要です。例として、2つのギアを連動させたいとします。1つは歯数が15、もう1つは歯数が20のギアです。

歯車が正しくかみ合うためには、ピッチ径またはモジュラスが同じでなければなりません。

以下の値が与えられたとします:

直径ピッチ, P
歯数, N
圧力角, θ (度)

ピッチ径、言い換えればピッチ円の直径を求めるには、次のようにします：

この例では、歯数15の第1ギヤの直径ピッチを10にしたいとします。ピッチの直径を計算するには

ピッチの直径を入力として使用し，直径ピッチを求めることは，ギヤを定義する際の寸法制御を簡単に行うことができるため，魅力的かもしれません．しかし，2つのギアが噛み合うためには同じ直径ピッチを持つ必要があるため，通常はまず直径ピッチを定義することから始めるのがベストです．

ここから，以下の式を使ってベース直径を求めることもできます．

上の式はθ、つまりギアの圧力角を求めるものである。ほとんどの歯車の圧力角は20°です。あまり一般的でないケースでは、14.5°の圧力角が使用されます。特にどの圧力角を使用すればよいかわからない場合は、デフォルトとして20°を使用してください。前回求めたピッチ直径1.5を使用し、ここではθが度数で表されていることを思い出して、次を求めます：

補足すると、aは単純に直径ピッチの逆数である：

この例では、ギアはこうなる：

bで示されるデデンダムは次のように表される：

この例では、ギアは次のように解かれる：

補遺直径は以下の通り：

この例では、補遺直径はこうなる：

デデンダム直径は以下の通り：

この例では：

また、すべての歯の間隔を何度にすべきかを計算することもできます。これは単純に
度のように与えられます：

最後に、パラメトリックカーブ方程式でギアの歯の曲率を決定します。これはxの値とyの値に分割され、次のように計算されます：

Tの値は0から1まである：

このパラメトリック方程式をプロットすると、次のように可視化できる：

興味深いことに、この値を最大22まで上げると、パラメトリック曲線が明確になる：

歯の根元がどこから始まるか、どのように間隔をあけるか、ギヤの外側の境界線はどこか、歯形はどうなっているか、そしてギヤのピッチ円直径と直径ピッチがわかっているので、それぞれのギヤが他のギヤの歯とどのくらい離れているべきかを定義することができ、歯が他のギヤの歯ときちんと合うようにすることができます。さらに良いことに、ギヤの厚さを否定すれば、3つの数値入力だけでこれらすべてを定義することができました。

ギアを自動化するAlibre Design

このすべてをCAD のプログラムに入力してギアを定義し始めることもできますが、Alibre Design では、その作業はあなたのために行われています。ギアスクリプトにアクセスするには、スクリプトタブに行き、pythonコンソールを起動します。

コンソールで、Examplesを選択し、次にmechanicalを選択する。

Alibreに付属しているギア生成スクリプトを使用することも、自分で作成したものをインポートすることも、ゼロから作成することもできます！

ここでは、インポートしたギアジェネレータ（DP）スクリプトを使用して、例で使用した3つのパラメータからギアモデルを定義し、生成することができます。

そしてここでは、数学的に定義したギアのソリッドモデルを見ることができる。

Alibreは、ソリッドモデルを使用する機能により、歯車の生成、円の直径の測定、平歯車の特徴や平歯車間の距離の測定、必要に応じて歯車間の距離の増減など、あらゆる更新を瞬時に行うことができるため、歯車の定義が便利になります。完璧なピッチ直径計算機として機能します。これで、人間の32本の歯や親知らずを除く、あらゆる種類の歯車を設計する資格が得られました！