Inhaltsübersicht
ThemenEine kleine Geschichte
Getriebe sind von grundlegender Bedeutung für alle Systeme, bei denen die Kraftübertragung wichtig ist. Ihre Anfänge gehen auf die antiken Zivilisationen Griechenlands und Chinas zurück, wo sie zunächst aus Holz gefertigt wurden.
Der Mechanismus von Antikythera, eine antike griechische Vorrichtung mit komplizierten Getriebesystemen, zeugt von der frühen Beherrschung der Getriebetechnik. Diese Wunderwerke demonstrieren eine ausgeklügelte Methode zur Übertragung von Rotationskräften und zur präzisen Steuerung mechanischer Bewegungen. Er enthält fortschrittliche mechanische Konzepte, die Planetenrädern, Ringrädern, Zahnradsätzen usw. ähneln können.
Der griechische Antikythera-Mechanismus:
Der Mechanismus von Antikythera, eine antike griechische Vorrichtung mit komplizierten Getriebesystemen, zeugt von der frühen Beherrschung der Getriebetechnik. Diese Wunderwerke demonstrieren eine ausgeklügelte Methode zur Übertragung von Rotationskräften und zur präzisen Steuerung mechanischer Bewegungen. Er enthält fortschrittliche mechanische Konzepte, die Planetenrädern, Ringrädern, Zahnradsätzen usw. ähneln können.
Der griechische Antikythera-Mechanismus:
Bildnachweis: Encyclopædia Britannica, Inc. (2023, 13. Oktober). Mechanismus von Antikythera. Encyclopædia Britannica. https://www.britannica.com/topic/Antikythera-mechanism
Bildnachweis: Tony Freeth/UCL
Grundsätzlich dienen Getriebe dazu, die Geschwindigkeit, das Drehmoment und die Richtung einer Kraftquelle zu verändern. In ihrer einfachsten Form können sie als sich drehende Hebel beschrieben werden. Zahnräder sind zylindrische oder konische Objekte mit Zähnen, die in die Zähne eines anderen Zahnrads eingreifen. Durch dieses Zusammenspiel kann ein Zahnrad, das treibende, ein anderes, das getriebene, drehen und so die Kraft effizient und genau übertragen.
Die Schönheit von Zahnrädern liegt in ihrer Vielseitigkeit. Sie werden in unzähligen Anwendungen eingesetzt, von den winzigen Zahnrädern in Uhren bis hin zu den massiven Zahnrädern in Industriemaschinen. Zahnräder sorgen dafür, dass Uhren gleichmäßig ticken, Fahrzeuge gleichmäßig beschleunigen und Windturbinen die Energie effizient nutzen. Sie werden in verschiedenen Bereichen eingesetzt, z. B. im Automobilbau, in der Luft- und Raumfahrt, in der Robotik und in der Fertigung.
Dieser Artikel befasst sich mit der Definition von Stirnradgetrieben. Es gibt noch weitere Arten von Zahnrädern: Kegelräder, die sich für die Übertragung von Drehmomenten in einem Winkel von 90° eignen, Schrägzahnräder, deren Zähne sich auf einer schrägen Bahn bewegen, und Fischgrätenzahnräder, deren Zähne sich in beide Richtungen schräg bewegen. Alle diese Zahnräder basieren auf den zentralen Prinzipien von Stirnrädern.
Wir können Stirnräder definieren und mathematisch definieren, indem wir die folgenden Informationen verwenden.
Die Schönheit von Zahnrädern liegt in ihrer Vielseitigkeit. Sie werden in unzähligen Anwendungen eingesetzt, von den winzigen Zahnrädern in Uhren bis hin zu den massiven Zahnrädern in Industriemaschinen. Zahnräder sorgen dafür, dass Uhren gleichmäßig ticken, Fahrzeuge gleichmäßig beschleunigen und Windturbinen die Energie effizient nutzen. Sie werden in verschiedenen Bereichen eingesetzt, z. B. im Automobilbau, in der Luft- und Raumfahrt, in der Robotik und in der Fertigung.
Dieser Artikel befasst sich mit der Definition von Stirnradgetrieben. Es gibt noch weitere Arten von Zahnrädern: Kegelräder, die sich für die Übertragung von Drehmomenten in einem Winkel von 90° eignen, Schrägzahnräder, deren Zähne sich auf einer schrägen Bahn bewegen, und Fischgrätenzahnräder, deren Zähne sich in beide Richtungen schräg bewegen. Alle diese Zahnräder basieren auf den zentralen Prinzipien von Stirnrädern.
Wir können Stirnräder definieren und mathematisch definieren, indem wir die folgenden Informationen verwenden.
Wichtige Begriffe
Teilkreis
Wenn Sie Zahnräder als Kreise simulieren würden, wäre der Teilkreis der Durchmesser, der die reine Abrollbewegung des Zahnrads darstellt. Da die Zähne ineinandergreifen, würde ein Zahnrad nicht genau aus dem Außendurchmesser der Zähne und dem Fußdurchmesser an der Basis der Zähne modelliert werden, sondern wie dargestellt zwischen diesen beiden. Mit anderen Worten, es handelt sich um einen imaginären Kreis, der durch den Punkt verläuft, an dem die Zähne ineinandergreifen, und der die wahre Größe des Zahnrads definiert. Dies wird auch als Teilkreisdurchmesser oder Teilkreisdurchmesser bezeichnet.
Addendum & Dedendum
Die Kopfhöhe ist der radiale Abstand vom Teilkreis zur Zahnspitze. Dies ist besonders wichtig in Bezug auf den Teilkreis.
Das Profilende ist der radiale Abstand von der Basis eines Zahns zum Teilkreis - ebenfalls wichtig und in Bezug auf den Teilkreis definiert.
Das Profilende ist der radiale Abstand von der Basis eines Zahns zum Teilkreis - ebenfalls wichtig und in Bezug auf den Teilkreis definiert.
Nachtrag Kreis / Großer Durchmesser
Der Kreis, dessen Durchmesser sich aus der Addition des Teilkreises und des Kopfkreises ergibt. Dieser sollte dem Außendurchmesser des Zahnrads entsprechen. Interessanterweise wird dies nicht als Hauptdurchmesser bezeichnet.
Kopfkreis / Wurzelkreis
Der Grundkreis ist ein Kreis, dessen Durchmesser sich aus dem Teilkreis abzüglich des Fußkreises ergibt. Er wird auch als Fußkreis, kleiner Durchmesser oder Wurzeldurchmesser bezeichnet.
Kreisförmige Teilung
Der Abstand zwischen der Oberfläche eines Zahns und der gleichen Oberfläche des nachfolgenden Zahns. Er wird als Bogenlänge am Teilkreis auf der Zahnoberfläche gemessen, wie unten in rot dargestellt.
Diametrale Teilung
Dies kann als Verhältnis zwischen der Anzahl der Zähne und dem Teilkreis definiert werden. Gemessen in Teilung pro Durchmessergröße, wird fast immer Zoll verwendet. Bei metrischen Anwendungen wird in der Regel das Modul anstelle der diametralen Teilung verwendet. Dies ist auch als Kreisteilung bekannt.
Diametric Pitch = Anzahl der Zähne / Teilkreisdurchmesser. In diesem Fall sind es 15 / 1,5 = 10.
Diametric Pitch = Anzahl der Zähne / Teilkreisdurchmesser. In diesem Fall sind es 15 / 1,5 = 10.
Involute Profil
Sie kann als Teil einer Familie von Kurven definiert werden, die als Roulette-Familie bekannt ist. Die Krümmung wird durch einen Punkt dargestellt, der um eine andere Form "rollt". Für die spezifische Evolventenkurve stellen Sie sich vor, dass Sie eine Schnur um einen Zylinder wickeln und dann einen Stift an das Ende der Schnur setzen. Dann wickeln Sie die Schnur vom Zylinder ab, während der Stift die Bahn zeichnet. Die gezeichnete Bahn ist eine Evolventenkurve.
Grundkreis
Der Durchmesser des Kreises, der den Beginn des Evolventenprofils markiert.
Modul
Für unsere lieben Freunde, die das metrische System verwenden, tritt Modul oft an die Stelle der Diametralteilung. Der Modulus wird in Millimetern pro Zahn gemessen. Im Folgenden finden Sie einen Vergleich der Eigenschaften der beiden Begriffe.
| Modul und diametrale Teilung - Hauptunterschiede | ||
|---|---|---|
| Diametrale Teilung | Modul | |
| Maßeinheit: | Zoll | mm |
| Auswirkung der Größe: | Größere Werte bedeuten kleinere Zähne, mehr "Zähne pro Zoll". | Größere Werte bedeuten größere Zähne oder mehr "mm pro Zoll". |
| Geografische Verwendung: | Hauptsächlich in den Vereinigten Staaten und in Ländern, in denen das imperiale System verwendet wird | Wird in Ländern verwendet, die das metrische System verwenden |
Die mathematischen Zusammenhänge
Für den Entwurf von Zahnrädern benötigen wir nur 3 Werte, wohl 4, wenn wir auch die Dicke des Zahnrads bestimmen wollen. Nehmen wir als Beispiel an, dass zwei Zahnräder zusammenarbeiten sollen, ein Zahnrad mit 15 Zähnen, das andere mit 20 Zähnen. Das Zahnrad mit 15 Zähnen wird hier als Beispiel entworfen.
Damit die Zahnräder richtig ineinandergreifen können, müssen sie den gleichen Teilungsdurchmesser oder Modul haben, je nachdem, in welchen Einheiten Sie arbeiten.
Gegeben sind die Werte für:
Diametral Pitch, P
Number of Teeth, N
Pressure Angle, θ (Degrees)
Um den Teilungsdurchmesser, oder mit anderen Worten, den Durchmesser des Teilkreises, zu bestimmen, verwenden wir:
Damit die Zahnräder richtig ineinandergreifen können, müssen sie den gleichen Teilungsdurchmesser oder Modul haben, je nachdem, in welchen Einheiten Sie arbeiten.
Gegeben sind die Werte für:
Diametral Pitch, P
Number of Teeth, N
Pressure Angle, θ (Degrees)
Um den Teilungsdurchmesser, oder mit anderen Worten, den Durchmesser des Teilkreises, zu bestimmen, verwenden wir:
Nehmen wir an, dass unser erstes Zahnrad mit 15 Zähnen eine diametrale Teilung von 10 haben soll. Um den Durchmesser der Teilung zu berechnen:
Es kann verlockend sein, den Teilungsdurchmesser als Eingabe zu verwenden und die diametrale Teilung zu bestimmen, da dies eine einfache Maßkontrolle bei der Definition des Zahnrads ermöglicht. Da jedoch zwei Zahnräder die gleiche Durchmesserteilung haben müssen, um ineinander zu greifen, ist es in der Regel am besten, zuerst die Durchmesserteilung zu bestimmen.
Von hier aus können wir auch den Basisdurchmesser mit der folgenden Gleichung bestimmen:
Von hier aus können wir auch den Basisdurchmesser mit der folgenden Gleichung bestimmen:
Die obige Gleichung fragt nach Theta, dem Eingriffswinkel des Zahnrads. Der Eingriffswinkel beträgt bei fast allen Zahnrädern 20°. In weniger häufigen Fällen wird ein Eingriffswinkel von 14,5° verwendet. Verwenden Sie 20° als Standardwert, insbesondere wenn Sie sich nicht sicher sind, welchen Eingriffswinkel Sie verwenden sollen. Unter Verwendung des zuvor ermittelten Teilungsdurchmessers von 1,5 und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass Theta hier in Grad ausgedrückt wird, ergibt sich:
Zusatz: a ist einfach der Kehrwert der diametralen Teilung, oder:
In unserem Beispiel wäre dies das Getriebe:
Das Dedendum, bezeichnet mit b, würde wie folgt ausgedrückt:
In unserem Beispiel würde das Getriebe wie folgt gelöst werden:
Der Nachtragsdurchmesser ist bei den folgenden zu finden:
In unserem Beispiel wäre das der Durchmesser des Nachtrags:
Dedendum Diameter wird angegeben als:
In unserem Beispiel:
Wir können auch die Gradzahl berechnen, in der jeder Zahn angeordnet sein sollte. Dies wird einfach in
Grad angegeben als:
Grad angegeben als:
Schließlich die parametrischen Kurvengleichungen zur Bestimmung der Krümmung der Verzahnung. Diese wird in x-Werte und y-Werte aufgeteilt und wie folgt berechnet:
Die Werte von T reichen von 0 bis 1. In unserem Beispiel haben wir:
Wenn wir diese parametrische Gleichung aufzeichnen, können wir folgendes veranschaulichen:
Interessanterweise wird die parametrische Kurve deutlich, wenn dieser Wert auf einen Höchstwert von 22 erhöht wird:
Und diese Mathematik ist alles, was wir brauchen, um unser Zahnrad zu definieren.
Wir wissen, wo die Zahnwurzeln beginnen, wie sie beabstandet werden sollen, was die äußere Begrenzung des Zahnrads ist, das Profil des Zahns, und da wir den Teilkreisdurchmesser und die diametrale Teilung des Zahnrads kennen, können wir festlegen, wie weit die einzelnen Zahnräder voneinander entfernt sein sollen und dass die Zähne richtig zu den anderen Zahnrädern passen werden. Noch besser ist, dass wir all dies mit nur 3 numerischen Eingaben definieren können, wenn Sie die gewünschte Dicke des Zahnrads negieren.
Wir wissen, wo die Zahnwurzeln beginnen, wie sie beabstandet werden sollen, was die äußere Begrenzung des Zahnrads ist, das Profil des Zahns, und da wir den Teilkreisdurchmesser und die diametrale Teilung des Zahnrads kennen, können wir festlegen, wie weit die einzelnen Zahnräder voneinander entfernt sein sollen und dass die Zähne richtig zu den anderen Zahnrädern passen werden. Noch besser ist, dass wir all dies mit nur 3 numerischen Eingaben definieren können, wenn Sie die gewünschte Dicke des Zahnrads negieren.
Automatisieren von Zahnrädern in Alibre Design
Wir könnten all dies in unser Programm CAD eingeben, um mit der Definition von Zahnrädern zu beginnen, aber in Alibre Design wurde diese Arbeit bereits für Sie erledigt. Um auf die Skripterstellung für Zahnräder zuzugreifen, gehen Sie auf die Registerkarte Skripte und starten Sie die Python-Konsole.
Wählen Sie in der Konsole Beispiele und dann Mechanik.
Sie können das in Alibre enthaltene Skript für die Zahnradgenerierung verwenden, Ihr eigenes importieren oder ein neues Skript schreiben!
Hier können wir mit einem importierten Skript für den Zahnradgenerator (DP) ein Zahnradmodell aus den drei Parametern, die wir im Beispiel verwendet haben, definieren und erzeugen.
Hier können wir mit einem importierten Skript für den Zahnradgenerator (DP) ein Zahnradmodell aus den drei Parametern, die wir im Beispiel verwendet haben, definieren und erzeugen.
Und hier können wir ein solides Modell des Zahnrads sehen, das wir mathematisch definiert haben, und jeder Zahn hat eine perfekte Krümmung.
Alibre macht die Definition von Zahnrädern sehr einfach, denn die Möglichkeit, Volumenmodelle zu verwenden, erleichtert die sofortige Erstellung von Zahnrädern, die Messung des Durchmessers von Kreisen, die Messung des Abstands von Stirnrädern oder zwischen Stirnrädern, die Vergrößerung oder Verkleinerung des Abstands zwischen den Zahnrädern, falls erforderlich, oder die Durchführung nahezu aller Aktualisierungen. Es funktioniert wie ein perfekter Teilungsdurchmesser-Rechner. Jetzt sind Sie in der Lage, alle Arten von Zahnrädern zu entwerfen, außer vielleicht die 32 Zähne des Menschen oder seine Weisheitszähne!
Formel Zusammenfassung
